所谓“时频重力位测量”,它的全名应该是“根据广义相对论原理,利用时间信号或频率信号传递测量重力位的方法”。这里有3个重要概念:

  1. 重力位:这是研究的内容。
  2. 时间信号或频率信号传递:这是研究的手段。
  3. 广义相对论:这是研究的理论依据。

接下来我们依次解释这3个概念。

重力位

“重力位”是物理学中的一个概念。在重力场中,单位质量质点由于重力作用而储存的能量称为此点的重力位。

所谓重力,是指引力和离心力的合力。在大地测量学中,我们研究的是地球附近空间的重力位,因此重力位 $W$ 可以分解为地球引力位 $V$ 和地球离心力位 $Z$ 之和(我们暂时不考虑地外天体的影响)。

$$ W=V+Z $$

重力位.png

由于地球的离心力(位)的计算非常简单,只要知道了地球的自转角速度 $\omega$ 和待求质点在地心坐标系中的坐标 $X,Y,Z$,即可根据以下公式精确计算离心力 $\vec{P}$ 和离心力位 $Z$:

$$ \begin{align*}\vec{P}&=\omega^2\cdot(\vec{X}+\vec{Y})\\Z&=\frac{1}{2}\omega^2\cdot\left|\vec{P}\right|^2=\frac{1}{2}\omega^2\cdot(X^2+Y^2)\end{align*} $$

而目前的地球自转角速度 $\omega=7.292\;115 \times 10^{-5}\; \mathrm{rad}\; \mathrm{s}^{-1}$,已经可以达到非常高的计算精度。

因此,虽然我们的研究目标是“重力位”,但也可以理解为是在研究“引力位”,因为引力位的观测或求解比较有挑战。只要求出了引力位,再加上离心力位就能轻易求出重力位了。

引力位

与重力位类似,在引力场中,单位质量质点由于引力作用而储存的能量称为此点的引力位。按照标准定义,假设空间中有一点 $A$,该点在地球引力场中的引力位为 $V_A$,则 $V_A$ 的计算公式如下:

$$ V_A=G \iiint_{\text {Earth }} \frac{d m}{r_A} $$

引力位.png

其中 $G=6.674 \times 10^{-11} \mathrm{~m}^3 \mathrm{~kg}^{-1} \mathrm{~s}^{-2}$ 是万有引力常数,$dm$ 是地球内部某点单位体积的质量,$r_A$ 是该点与 $A$ 点的距离,$\iiint_{\text {Earth }}$ 表示对整个地球(体积)内部的 $dm/r$ 计算值进行积分。由于目前我们无法准确获知地球内部的密度分布,因此也就无法知道任意一点的 $dm$ 的值,因此也就无法通过该公式计算。

当然这并不意味着我们无法求解引力位,只是我们需要“曲线救国”,采用其它方法。目前使用最多的方法是通过大量观测值建立地球重力场模型,再根据模型给定的系数,通过球谐展开法计算任意一点的引力位。只是这些方法目前所能达到的精度有限,远不及离心力位的计算精度。

那么“时频重力位测量”的方法能够更精确地测定 $V_A$ 的值吗?理论上可以,但是它并不能直接测出 $V_A$,而只能通过间接方式推算 $V_A$。“时频重力位测量”的方法解决的是两点之间的“引力位差”(或“重力位差”),在这个应用领域,该方法具备独特的优势与应用前景。

引力位差与重力位差

上一节所描述的 $V_A$ 其实是绝对引力位,假设空间中另有一点 $B$,那么该点与 $A$ 点的引力位差 $\Delta V_{AB}$ 可表示为:

$$ \Delta V_{AB}=V_B-V_A $$

类似的,这两点间的重力位差 $\Delta W_{AB}$ 为:

$$ \Delta W_{AB}=W_B-W_A $$

重力位差.png